Юрий Радоняк родился 8 сентября 1935 года в Грозном. Его отец погиб на фронте во время великой войны. После окончания войны вся семья переехала в Краснодар, там он и начал активно заниматься боксом. Сначала под руководством тренера Николая Бесценного, а затем был воспитанником Евгения Поликарпова и Леонида Кривоноса.
Радоняк не обладал выдающимися физическими данными, но за счёт трудолюбия, упорства и волевого характера добивался успеха во многих своих поединках. Первых успехов на высоком уровне Юрий добился в 1958 году, когда в первом полусреднем весе одержал победу на чемпионате мира среди военнослужащих и выиграл серебро национального первенства.
После этих побед Юрия Радоняка пригласили в Москву в команду столичного ЦСКА.
В 1960 году он стал чемпионом СССР по боксу и получил право защищать честь страны на летней Олимпиаде в Риме. Уверенно побеждал соперников, но в финале уступил неожиданно по решению боковых судей итальянцу Джованни Бенвенути. Радоняк оставался в сборной ещё в течение двух лет, но уже не показывал прежних результатов и оставался в тени более удачливых боксёров. В 1962 году принял решение завершить карьеру — всего в его послужном списке 226 боёв, из них 197 окончены победой.
В 1962—1973 годах Юрий Михайлович Радоняк работал старшим тренером по боксу ЦСКА. А затем в течение трёх лет возглавлял национальную сборную, выиграл с ней 5 олимпийских наград, завоевал 8 медалей на чемпионате мира и 10 на чемпионатах Европы.